На принципе отдачи основано реактивное движение. В ракете при сгорании топлива газы, нагретые до высокой температуры, выбрасываются из сопла с большой скоростью U относительно ракеты. Обозначим массу выброшенных газов через m, а массу ракеты после истечения газов через M. Тогда для замкнутой системы «ракета + газы» можно записать на основании закона сохранения импульса (по аналогии с задачей о выстреле из орудия):, V= - где V - скорость ракеты после истечения газов.
Здесь предполагалось, что начальная скорость ракеты равнялась нулю.
Полученная формула для скорости ракеты справедлива лишь при условии, что вся масса сгоревшего топлива выбрасывается из ракеты одновременно. На самом деле истечение происходит постепенно в течение всего времени ускоренного движения ракеты. Каждая последующая порция газа выбрасывается из ракеты, которая уже приобрела некоторую скорость.
Для получения точной формулы процесс истечения газа из сопла ракеты нужно рассмотреть более детально. Пусть ракета в момент времени t имеет массу M и движется со скоростью V. В течение малого промежутка времени Дt из ракеты будет выброшена некоторая порция газа с относительной скоростью U. Ракета в момент t + Дt будет иметь скорость а ее масса станет равной M + ДM, где ДM < 0 (рис. 1.17.3 (2)). Масса выброшенных газов будет, очевидно, равна -ДM > 0. Скорость газов в инерциальной системе OX будет равна V+U. Применим закон сохранения импульса. В момент времени t + Дt импульс ракеты равен ()(M + ДM)а импульс испущенных газов равен В момент времени t импульс всей системы был равен MV. Предполагая систему «ракета + газы» замкнутой, можно записать:
Величиной можно пренебречь, так как |ДM| << M. Разделив обе части последнего соотношения на Дt и перейдя к пределу при Дt > 0, получим
Величина есть расход топлива в единицу времени. Величина называется реактивной силой тяги F p Реактивная сила тяги действует на ракету со стороны истекающих газов, она направлена в сторону, противоположную относительной скорости. Соотношение
выражает второй закон Ньютона для тела переменной массы. Если газы выбрасываются из сопла ракеты строго назад (рис. 1.17.3), то в скалярной форме это соотношение принимает вид:
где u - модуль относительной скорости. С помощью математической операции интегрирования из этого соотношения можно получить формулу для конечной скорости х ракеты:
где - отношение начальной и конечной масс ракеты. Эта формула называется формулой Циолковского. Из нее следует, что конечная скорость ракеты может превышать относительную скорость истечения газов. Следовательно, ракета может быть разогнана до больших скоростей, необходимых для космических полетов. Но это может быть достигнуто только путем расхода значительной массы топлива, составляющей большую долю первоначальной массы ракеты. Например, для достижения первой космической скорости х = х 1 = 7,9·10 3 м/с при u = 3·10 3 м/с (скорости истечения газов при сгорании топлива бывают порядка 2-4 км/с) стартовая масса одноступенчатой ракеты должна примерно в 14 раз превышать конечную массу. Для достижения конечной скорости х = 4u отношение должно быть = 50.
Значительное снижение стартовой массы ракеты может быть достигнуто при использовании многоступенчатых ракет, когда ступени ракеты отделяются по мере выгорания топлива. Из процесса последующего разгона ракеты исключаются массы контейнеров, в которых находилось топливо, отработавшие двигатели, системы управления и т. д. Именно по пути создания экономичных многоступенчатых ракет развивается современное ракетостроение.
Уравнение движения тела с переменной массой
Под переменной массой будем понимать массу тел, которая при медленном движении тел меняется за счет потери или приобретения вещества.
Выведем уравнение движения материальной точки с переменной массой на примере движения ракеты. Принцип действия ракеты очень прост. Ракета с большой скоростью выбрасывает вещество (газы), воздействуя на него с большой силой. Выбрасываемое вещество с той же, но противоположно направленной силой в свою очередь действует на ракету и сообщает ей ускорение в противоположном направлении. На ракету действуют внешние силы: сила земной тяжести, гравитационное притяжение Солнца и планет, а также сила сопротивления среды, в которой движется ракета.
Рисунок 1.
Пусть $m(t)$- масса ракеты в произвольный момент времени $t$, а $v(t)$- ее скорость в тот же момент. Количество движения ракеты в этот момент времени будет $mv$. Спустя время $dt$ масса и скорость ракеты получат приращение $dm$ и $dv$ (величина $dm$ отрицательна). Количество движения ракеты станет равным $(m+dm)(v+dv)$. Сюда надо добавить количество движения газов, образовавшихся за время $dt$. Оно равно $dm_{газ} v_{газ} $, где $dm_{газ} $- масса газов, образовавшихся за время $dt$, а $v_{газ} $- их скорость. Вычитая из суммарного количества движения в момент $t+dt$ количество движения системы в момент времени $t$, найдем приращение этой величины за время $dt$. Это приращение равно $Fdt$, где $F$- геометрическая сумма всех внешних сил, действующих на ракету. Таким образом:
$(m+dm)(v+dv)+dm_{газ} v_{газ} -mv=Fdt$. (1)
Время $dt$ и приращения $dm$ и $dv$ устремим к нулю, т.к. нас интересуют предельные отношения или производные $dm/dt$ и $dv/dt$. Поэтому, раскрывая скобки, можно отбросить произведение $dm\cdot dv$, как бесконечно малую высшего порядка. Далее, ввиду сохранения массы, $dm+dm_{газ} =0$. Пользуясь этим, можно исключить массу газов $dm_{газ} $. А разность $v_{отн} =v_{газ} -v$ есть скорость истечения газов относительно ракеты -- скорость газовой струи. С учетом этих замечаний уравнение (1) преобразуется к виду:
$mdv=v_{отн} dm+Fdt$. (2)
Разделив на $dt$, получаем:
$m\frac{dv}{dt} =v_{отн} \frac{dm}{dt} +F$. (3)
Уравнение Мещерского
По форме уравнение (3) совпадает с уравнением, выражающим второй закон Ньютона. Однако масса тела $m$здесь не постоянна, а меняется во времени из-за потери вещества. К внешней силе $F$ добавляется дополнительный член $v_{отн} \frac{dm}{dt} $, который может быть истолкован как реактивная сила, т.е. сила, с которой действуют на ракету вытекающие из нее газы. Уравнение (3) впервые было получено русским механиком И. В. Мещерским. Оно, так же как и эквивалентное ему уравнение (2), называется уравнением Мещерского или уравнением движения точки с переменной массой.
Формула Циолковского
Применим уравнение (2) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Полагая $F=0$, получим:
Допустим, что ракета движется прямолинейно в направлении, противоположном скорости газовой струи $v_{отн} $. Если направление полета принять за положительное, то проекция вектора $v_{отн} $ на это направление будет отрицательной и равной $-v_{отн} $. Поэтому в скалярной форме предыдущее уравнение можно записать так $mdv=v_{отн} dm$. Тогда:
$\frac{dv}{dm} =-\frac{v_{отн} }{m} $ (4)
Скорость газовой струи $v_{отн} $ может меняться во время полета. Однако простейшим и наиболее важным является случай, когда она постоянна. Предположение о постоянстве сильно облегчает решение уравнения (4). В этом случае:
Значение постоянной интегрирования С определяется начальными условиями. Допустим, что в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее масса равна $m_{0} $. Тогда из предыдущего уравнения получаем:
$C=v_{отн} \ln \frac{m_{0} }{m} $ тогда: $v=v_{отн} \ln \frac{m_{0} }{m} $ или $\frac{m_{0} }{m} =e^{\frac{v}{v_{отн} } } $
Последнее соотношение называется формулой Циолковского .
Величина достигаемой ракетой максимальной скорости не зависит от времени сгорания топлива.
Оптимальным путем изменения достигаемой максимальной скорости является увеличение относительной скорости истечения газов.
Для получения первой космической скорости при меньшем соотношении между массой ракеты и требуемой массы топлива целесообразно использование многоступенчатых ракет.
Примеры
Пример 1
Космический корабль двигался с постоянной по величине скоростью $v$. Для изменения направления его полета включается двигатель, выбрасывающий струю газа со скоростью $v_{отн} $ относительно корабля в направлении, перпендикулярном к его траектории. Определить угол $\alpha $, на который повернется вектор скорости корабля, если начальная масса его $m_{0} $, а конечная $m$.
Дано: $v$, $v_{отн} $, $m_{0} $, $m$.
Найти: $\alpha $-?
Решение:
Ускорение корабля по абсолютной величине равно:
$a=\omega ^{2} r=\omega v$, причем $v=const$. Поэтому уравнение движения:
$m\frac{dv}{dt} =v_{отн} \frac{dm}{dt} $ переходит в: $mv\omega dt=-v_{отн} dm$.
Так как $d\alpha =\omega dt$ есть угол поворота за время $dt$, интегрируя наше уравнение, получим:
\[\alpha =\frac{v_{отн} }{v} \ln \frac{m_{0} }{m} .\]
Ответ: угол поворота вектора скорости равен: $\alpha =\frac{v_{отн} }{v} \ln \frac{m_{0} }{m} $
Пример 2
Ракета перед стартом имеет массу $m_{0} =250$кг. На какой высоте окажется ракета через $t=20$с после начала работы двигателей? Расход топлива равен $\mu =4$кг/с и скорость истечения газов относительно ракеты $v_{отн} $$=1500$м/с постоянны. Поле тяготения Земли считать однородным.
Дано: $m_{0} =250$кг, $t=20$с, $\mu =4$кг/с, $v_{отн}=1500$м/с.
Найти: $H$-?
Решение:
Рисунок 2.
Запишем уравнение Мещерского в однородном поле тяготения Земли в виде:
где $m=m_{0} -\mu t$, а $v_{0} $- скорость ракеты в момент времени $t$. Разделяя переменные получаем:
\[\Delta v_{0} =(\frac{\mu v_{отн} }{m_{0} -\mu t} -g)\Delta t\]
Решение данного уравнения, удовлетворяющего начальному условию $v_{0} =0$ при $t=0$, имеет вид:
Учитывая что $H_{0} =0$ при $t=0$ получим:
Подставляя начальные значения, получаем:
$H=v_{отн} t-\frac{gt^{2} }{2} +\frac{v_{отн} m_{0} }{\mu } (1-\frac{\mu t}{m_{0} })\ln (1-\frac{\mu t}{m_{0} })=3177,5$м
Ответ: через $20$с ракета окажется на высоте $H=3177,5$м.
Первая задача Циолковского
Рассмотрим движение ракеты в безвоздушном пространстве при отсутствии гравитационного поля. Движение в этом случае будет происходить только под действием реактивной силы.
Какую скорость V приобретет ракета к моменту, когда начальная масса М 0 уменьшится до конечного значения М к (до полной выработки топлива)? Это – первая задача Циолковского.
Запишем уравнение Мещерского:
После разделения переменных получим:
Т.к. , после интегрирования получим:
Значение С получим из начальных условий: при t = 0 скорость V = V 0 =0 и масса М = М 0 .
Откуда: .
Подставив С в выражение для V , окончательно получим:
где: М – текущая масса ракеты;
– относительная текущая масса ракеты.
Это формула Циолковского для определения идеальной скорости одноступенчатой ракеты, которая характеризует энергетические характеристики собственно ракеты.
По мере выработки топлива масса М и соответственно m уменьшаются, а скорость V – возрастает.
В частности, при значении скорость V ракеты всегда равна эффективной скорости w e истечения (см. рис. 2.6).
Рис. 2.6. Изменение скорости V в зависимости от m для различных w e
Когда топливо будет полностью выработано, а двигатель выключен, скорость V достигнет своего наибольшего конечного V к значения:
где: – относительная конечная масса ;
M к , M 0 – конечная и начальная масса ракеты соответственно;
– число Циолковского.
Другая форма записи конечной скорости:
где: М Т – масса топлива;
– относительная масса топлива .
Рассмотрим, от каких параметров зависит путь S К , пройденный ракетой в идеальных условиях за время t К .
Очевидно: .
При текущая масса М ракеты линейно зависит от времени:
Поэтому: .
Тогда после замены переменных:
или после интегрирования:
.Величину, обратную n 0 называют тяговооруженностью :
Выясним, какое влияние оказывает тяговооруженность на время t работы двигателя.
Выше отмечалось, что при линейном законе изменения массы ЛА:
Учитывая, что:
Из последних двух выражений следует, что для ракет с одинаковыми скоростями истечения равным значениям m может соответствовать разное время работы двигателя: чем больше начальная тяговооруженность, тем меньше время.
На рис. 2.7 дана зависимость V = f (t ) для и различных, значений начальной тяговооруженности. Равные значения скорости, очевидно, имеют место при равные m.
Рис. 2.7. Зависимость скорости V от времени t полета для различных значений начальной тяговоорукенности
Увеличение конечной идеальной скорости ракеты можно достичь либо увеличением эффективной скорость истечения продуктов сгорания, либо уменьшением относительной конечной массы m К (увеличением числа Z Циолковского). Закон же расхода топлива, равно как и абсолютные значения начальной и конечной масс, не оказывают влияния на приобретенную скорость.
Путь, проходимый ракетой, зависит не только от и но и обратно пропорционален тяговооруженности, т.е. стартовому ускорению. Этот факт объясняется тем, что с увеличением, уменьшается время t работы двигателя, а следовательно, снижаются гравитационные потери скорости. В итоге это проводит к увеличению конечной скорости ракеты, движущейся в поле тяготения планеты, а, следовательно, растет и проходимый ею путь.
Основная задача ракеты – сообщить заданному полезному грузу определенную скорость. В зависимости от полезного груза и необходимой скорости назначается и запас топлива. Чем больше груз и конечная скорость, тем больший запас топлива M Т должен находиться на борту, а следовательно, тем большим сказывается стартовый вес ракеты, тем больше необходима тяга двигателя, что приводит к увеличению веса двигательной установки и веса всей конструкции ракеты в целом:
M П.Г и V К ® M Т ® М 0 ® R ® M констр. .
Из формулы Циолковского (61) следует, что увеличение конечной скорости ракеты может быть достигнуто либо увеличением эффективной скорости истечения продуктов сгорания из сопла ракетного двигателя, либо уменьшением относительной конечной массы. Реальный предел для существующих конструкций на сегодня м а максимально достижимое для химических ракетгых двигателей значение = 4400 м/с (топливо – ""водород – кислород"). Тогда:
Далее будет показано, что для выведения полезного груза на низкую круговую орбиту Земли необходима характеристическая скорость V x = 9400 м/с (необходимая фактическая скорость V факт = 7800 м/с). Разность между ними – = 1600м/с – это суммарные потери скорости, обусловленные совокупностью потерь скорости из-за отличий реальных условий полета от идеальных.
Приведенные количественные опенки свидетельствуют, что достижение первой космической скорости для создания ИСЗ Земли находится на пределе реальных возможностей одноступенчатых ракет с двигателем на химическом топливе. Такая одноступенчатая ракета уже создана в Японии – в 1986 г. с ее помощью был осуществлен запуск ИСЗ массой » 800 кг на круговую орбиту Земли. Добиться этого удалось за счет широкого применения в конструкции неметаллических и композиционных материалов, что обеспечило снижение ниже вышеуказанного предела. Однако вывод больших полезных грузов с помощью одноступенчатых ракет в ближайшем будущем не представляется возможным.
Основной недостаток одноступенчатой ракеты заключается в том, что конечная скорость сообщается не только полезному грузу, но и всей конструкции в целом. При увеличении веса конструкции это ложится дополнительным бременем на энергетику одноступенчатой ракеты, что накладывает ограничения на величину достижимой скорости.
Одна из плодотворных идей К.Э. Циолковского относится к созданию многоступенчатых ракет, способных за счет избавления от ненужной (балластной) массы освободившихся от топлива баков и других элементов конструкции значительно повысить скорость сравнительно с простой одноступенчатой ракетой.
На рис. 2.8 приведена схема трехступенчатой ракеты с так называемым поперечным делением (схема "Тандем").
| Рис. 2.8. Схема трехступенчатой ракеты |
Под СТУПЕНЬЮ многоступенчатой ракеты понимается одноступенчатая ракета, состоящая из ракетного блока (РБ) и условного полезного груза в виде оставшейся (верхней) части ракеты. Т.о., последующая i -я ступень является полезным грузом предыдущей (i – 1)-й ступени.
Вывод полезного груза с помощью многоступенчатой ракеты осуществляют следующим образом.
На старте, работает наиболее мощный двигатель первой ступени, способный поднять ракету со стартового устройства и сообщить ей определенную скорость. После того, как будет израсходовано топливо в баках первой ступени, она отбрасывается, а дальнейшее увеличение скорости достигается за счет работы двигателей следующей ступени и т.д. Теоретически процесс деления можно вести до бесконечности. Однако, на практике выбор числа ступеней следует рассматривать, как предмет поиска оптимального конструктивного варианта. Увеличение числа ступеней при заданной массе М П.Г. полезного груза ведет к уменьшению стартовой массы М 0 ракеты, но при переходе от n ступени к (n + 1)-й выигрыш с числом n уменьшается, ухудшаются весовые характеристики отдельных ракетных блоков, увеличиваются экономические затраты и снижается надежность. Продемонстрируем это на реальном числовом примере:
Таким образом, в отличие от одноступенчатой, в многоступенчатой ракете одновременно с полезным грузом заданную конечную скорость приобретает масса конструкции не всей ракеты, а только последней ступень. Массы же ракетных блоков предыдущих ступеней получают меньшие скорости, что приводит к экономия энергетических затрат.
Введем следующие обозначения:
, – соответственно текущее и конечное значения относительной массы i -й ступени;
– скорость истечения при полете i -й ступени;
, –соответственно текущее значение скорости и конечное значение, приобретенное i -й ступенью.
После того, как выработается, топливо 1-й ступени:
где – относительная конечная масса 1-й ступени;
M TI - – масса топлива в баках 1-й ступени.
Скорость полета 2-й ступени складывается из конечной скорости 1-й ступени и текущей скорости, приобретенной 2-й ступенью: . После выработки топлива 2-й ступени:
где: – относительная конечная масса 2-й ступени;
M 0 II – стартовая масса 2-й ступени;
M Т II – масса топлива в баках 2-й ступени.
Тактом образом, каждая последующая ступень дает приращение скорости. В итоге, конечная скорость многоступенчатой ракеты определится как сумма скоростей, приобретенных всеми n ступенями:
В подобном случае часто произведение приравнивают некоторому эквивалентному значению, называемому суммарной относительной массой. Тогда:
Суммарная относительная масса – это относительная конечная масса такой гипотетической одноступенчатой ракеты, которая приобретает ту же скорость, что и соответствующая многоступенчатая ракета при равных скоростях истечения по ступеням.
Типичный график набора скорости для многоступенчатой ракеты приведен на рис. 2.9. В осях m I , V I и m II , V II построены зависимости для каждой ступени в соответствии с (2.24). В осях, показана зависимость (2.26).
Рис. 2.9. График набора скорости двухступенчатой ракеты в зависимости от m I , m II ,
2.1. Идеальная скорость и массовые характеристики ракеты
Идеальная скорость - скорость, которую приобрел бы летательный аппарат, двигаясь прямолинейно, если бы весь запас энергии, находящийся на его борту, был бы израсходован на ускорение.
где: , - действительная скорость и её потери;
dV rp , d У Аяр , dV ynp - потери скорости гравитационные, аэродинамические и на управление, соответственно.
Первая космическая скорость V K , = 7900 м / c
V К 1 + dV пк 1 = V К2 = 10200 м / с
Идеальная скорость характеризует запас топлива на борту ракеты, необходимый для проведения определенного маневра.
Массовая характеристика ракеты
Массовые модели одно и двухступенчатых ракет приведены на рис. 8.
Рис.8
Условные обозначения: о. к, п, п.ф., коне, т, - массы стартовая, конечная, полезная, полезная фиктивная, конструкции и топлива, соответственно.
Масса ракеты, находящаяся над ступенью, также называется полезной фиктивной нагрузкой.
Одноступенчатая ракета называется субракетой.
Количество субракет определяется требуемой дальностью доставки полезного груза. Так при использовании ЖРДУ для обеспечения дальности полёта до 1000 км используется 1 ступень, при дальности 1000 - 3000 км - 2 ступени, а при дальности более 3000 км - 3 ступени.
2.2. Относительные массовые характеристики субракет
1. Относительная масса полезного груза
2. Относительная масса конструкции
3.Относительная
масса
топлива
4.Число Циолковского - Z и модифицированное число Циолковско го -z:
2.3. Формула Циолковского
Предназначена для определения идеальной скорости ракеты. При выводе формулы Циолковского примем следующие допущения:
ракета летит прямолинейно;
гравитационные силы не рассматриваются;
давление окружающей среды отсутствует.
Рассмотрим расчётную схему исследуемого процесса, рис.9.
Согласно формуле тяги:
Знак «-» в вышеприведенной формуле указывает на снижение массы двигательной установки М за счет уменьшения массы топлива.
Если конструкция космического аппарата состоит из N субракет и при этом значения числа Циолковского и эквивалентной скорости для них одинаковы, то изменение идеальной скорости можно рассчитать по формуле:
3. Рабочий процесс в химических ракетных двигателях
3.1. Аэрогазодинамический нагрев в полёте
При движении газа с гиперзвуковыми скоростями М>5 на процесс теплообмена существенное влияние оказывают явления диссоциации, рекомбинации и ионизации.
Диссоциация - процесс разложения молекулярных соединений и атомов на их составляющие. Процесс сопровождается значительным поглощением тепла.
Рекомбинация - процесс обратный диссоциации; происходит с выделением тепла.
Существенная интенсификация данного процесса наблюдается при наличии катализатора, в качестве которого можно рассматривать поверхность летательного аппарата (ЛА).
Ионизация - процесс отрыва свободных электронов от атомов.
При М<20 ионизируется менее 1% воздуха. Поэтому при указанных режимах полета влияние ионизации на теплообмен можно не учитывать.
В случае исследование теплообмена между поверхностью ЛА и газовым потоком при М<20 могут быть использованы зависимости, полученные в курсе «Термодинамика газовых потоков», с учетом влияния рассмотренных процессов на теплофизические свойства окружающей среды.
При движении ЛА с космическими или околокосмическими скоростями в сильно разреженных слоях атмосферы протяжённость свободного пробега молекулы соизмерима, а в некоторых случаях превышает протяжённость летательного аппарата.
Такая зона полета называется областью свободномолекулярного потока. При этом у поверхности ЛА отсутствует пограничный слой и математические зависимости полученные в курсе «Термодинамика газовых потоков», становятся не применимы.
При полёте в области
свободно молекулярного потока определяющим
является критерий Кнудсена:
где: М и Re- критерии Маха и Рейнольдса, соответственно; к - показатель адиабаты.
В области свободномолекулярного потока величина критерия Кнудсена Кn>10.
При 0,1>Кn>0,01 у поверхности ЛА образуется тонкий пограничный слой скользящий вдоль неё, в котором наблюдается резкое изменение параметров потока.
Процесс соударения между потоком и поверхностью ЛА характеризуется коэффициентом аккомодации А. Его величина зависит от параметров потока и состояния поверхности; характеризует относительную энергию, передаваемую от молекулы к поверхности ЛА при их соударении.
При проведении технических расчетов величина А принимается равной 0,9.
Процесс теплообмена в области свободно молекулярного потока с достаточной степенью точности характеризуется уравнением:
Характеризует отношение скорости полёта ЛА к возможной скорости молекулы;
Критерий Прандтля.
Формула Константина Эдуардовича Циолковского выражает максимальную скорость летательного аппарата, которой он достигает во время полета при реактивном движении. Она получается при интегрировании уравнения Мещерского.
Эта формула выражает скорость ракеты, переданную газами от сожженного топлива. Уравнение Мещерского и формула Циолковского неразрывно связаны - уравнение Мещерского описывает массу материальной точки, которая изменяется со временем, в то время как при реактивном движении ракеты постоянно идет уменьшение ее массы из-за сгорания топлива. Изменение скорости при изменяющейся массе (уменьшающейся в нашем случае) движущегося тела - вот что подразумевает под собой реактивное движение. Формула Циолковского основывается именно на нем.
Для решения ряда задач теоретической механики в области реактивного движения используют уравнение Мещерского (основное уравнение материальной точки переменной массы) и формулу Циолковского (формула конечной скорости летательного аппарата), которые называются основными соотношениям теории реактивного движения.
Основой при проектировании и планировании в области космических полетов является именно формула Циолковского, вывод которой стал настоящим прорывом для освоения космоса.
Задачи Циолковского
Для того, чтобы разрешить проблему межпланетных перелетов, К. Э. Циолковский рассмотрел в качестве средства перелета ракету. Он вывел формулу, с помощью которой можно получить зависимость массы летательного аппарата с топливом и скорости отдаления продуктов сгорания используемого топлива ракеты относительно нее. Покажем две его задачи:
- Исследование движения тела с переменной массы с действующей на него одной реактивной силы.
- Исследование движение тела в однородном поле силы тяжести переменной массы вблизи поверхности Земли.
Предисловие
Для всех космических полетов изначальной и основополагающей стала формула Циолковского для скорости ракеты, вывод которой представлен ниже.
Для начала необходимо приняв ее, грубо говоря, за материальную точку. На нее будут действовать силы притяжения Земли и других небесных тел (в момент взлета сила гравитации Земли будет, конечно же, наиболее сильной), сила сопротивления воздуха с одной стороны и противоположно им направленная реактивная сила, возникающая из-за выброса сгоревшего газа у основания тела. Ракета с большой силой выбрасывает эти газы, которые сообщают ей ускорение, направленное противоположно стороне выброса. Теперь необходимо представить эти рассуждения в виде формулы.
Сам принцип полета ракеты достаточно простой. С большой скоростью из ракеты вырывается газ, полученный при сгорании топлива, который сообщает самой ракете определенную силу, которая действует противоположно направлению движения. Так как считается, что внешние силы не действуют на ракету, то система будет замкнутой, и импульс ее не зависит от времени.
Уравнение Мещерского
Одним из основных примеров движения тела с изменяющейся массой является ракета с одной ступень, масса которой изменяется только из-за сжигания топлива, содержащегося в ней. Масса такой ракеты складывается из неизменяющейся (сама ракета и ее полезная нагрузка) и изменяющейся (топливо). Такой пример является упрощенной моделью.
Однако в современном ракетостроении используются многоступенчатые ракеты. Принцип их работы заключается в том, что благодаря большому объему ступеней они способны перевозить и использовать после взлета гораздо большее количество топлива. После его сгорания, ракете сообщается значительный импульс (гораздо больший, чем тот, которого можно добиться, используя одну ступень), а ставшие ненужными части открепляются от основы, уменьшая общий вес на 80-90%. Тем не менее, для расчета параметров многоступенчатой ракеты необходимо сложить показатели каждой из ее составляющей.
Дифференциальное уравнение Мещерского описывает движение материальной точки с переменной массой.
(m+dm)(υ+dυ) + dm′ υ′ - mυ = Fdt - в момент времени dt (разность между силой в момент времени t и dt+t и будет приращением).
Где m и υ зависят от времени, dt - какое-то время полета. За его образуется сила перемещения газа - dm′ υ′, dm′ - масса образованного из топлива газа. F - равнодействующая сила.
В описанном выше выражении приращения массы ракеты и газа и скорости устремляется к нулю, поэтому выражение принимает следующий вид:
mdυ = υ′′dm + Fdt,
причем υ′′ равняется разности скорости газа и скорости и является скоростью истечения газа.
Уравнение по форме начинает совпадать со вторым законом Ньютона - F = ma = m
Оно и называется уравнением Мещерского.
Вывод формулы Циолковского
Необходимо вывести формулу, описывающую движение тела с переменной массой. Формула Циолковского таковой и является. Вывод представлен ниже.
В данных вычислениях считается, что на движущееся тело не действуют внешние силы, то есть F = 0.
Тогда mdυ = υ′′dm
Так как воздействие внешних сил на летящую ракету равно нулю, то она движется прямолинейно, а скорость движения противоположно направлена скорости выхода газа. Соответственно, υ = -υ′′
Получается выражение, которое необходимо проинтегрировать.
Необходимо найти константу. Для этого достаточно подставить в уравнение начальные условия - скорость равна нулю, а масса - сумме массы топлива и массы ракеты (m 0 + m)
Вообще говоря, m в формуле складывается из двух параметров - из полезной нагрузки и конструкции ракеты. Полезной нагрузкой называется общая масса груза и экипажа.
Подставляем найденную константу в формулу. В результате и получается выражение искомой формулы.
Это и есть один из вариантов формулы Циолковского для скорости. Однако иногда необходимо принять во внимание именно массу. Поэтому ее иногда записывают следующим образом:
Данная формула используется для расчета массы топлива, которая требуется для развития определенной скорости при заданных условиях.
Рассмотрю далее небольшую задачу. Предположим, ракете необходимо развить первую космическую скорость для вращения по орбите Земли. Тогда для этого необходимо в первую очередь рассчитать массу топлива, конечно же. Тогда ее очень просто выразить из формулы Циолковского.
Релятивистская механика
Все вышеописанные формулы могут применяться только в том случае, когда скорость ракеты много меньше скорости света (υ< Однако если скорость движения ракеты можно сравнить со скоростью света, то необходимо применять уже другие законы. Пусть m и υ - масса ракеты в состояние и ее скорость в любое время t, а υ′ и m′ - скорость выхода газа и его масса в это же время. То есть m′ - масса вышедшего газа, поэтому его значение для расчета неважно, m′ = 0. Необходимо расписать закон сохранения импульса и закон сохранения энергии в релятивистской механике, затем продифференцировать первое уравнение, учитывая, что m′=0 и получить выражение третье. где u - скорость испускания газов. Исходя из закона сложения скоростей в релятивистской, механике следует такое выражение. Его необходимо преобразовать относительно υ′ и проинтегрировать для получения окончательного варианта уравнения. Можно несколько усложнить задачу и рассмотреть в качестве примера ракету с несколькими ступенями. Таким образом, формула Циолковского для многоступенчатой ракеты представляет собой сумму необходимых для расчета параметров. То есть, для того, чтобы рассчитать скорость для многоступенчатой ракеты, следует сложить скорость каждой из составляющей части. Основа всех космических полетов - формула Циолковского. При расчете полета важно четко осознавать, какой именно процент полученной после сгорания топлива энергии используется в качестве полезной работы? Таким образом, коэффициентом полезного действия принято называть отношение кинетических энергий ракеты и газов после выбрасывания. Обозначим m и m′ за массу ракеты в начале и в конце полета, продолжающийся время t. Соответственно, - скорость выбрасывания газов. Тогда, по формуле Циолковского, КПД двигателя ракеты можно найти следующим образом: Следует заметить, что данный КПД является очень небольшим и не превышает 5%, притом как у тепловых двигателей этот показатель равняется и 80%. В некоторых ресурсах применяется несколько иная формула Циолковского, уравнение, в котором вместо υ′ применяется другой параметр - I. В данном случае I называют удельным импульсом, и даже приводится объяснение, что удельный импульс выражается через тягу двигателя и его сжиганию массы топлива за единицу времени. Первый вопрос, который приходит на ум - вопрос о размерности. В отличие от скорости, импульс имеет другую размерность, которая будет противоречить сути формулы. Однако, непосредственно удельный импульс совпадает по размерности со скоростью. Удельный импульс показывает количество секунд, при котором двигатель, истратив единицу топлива, получит единицу силы. Применяется сугубо в описании реактивного двигателя. Формулу Циолковского для многоступенчатой ракеты применяют и при проектировании ракеты. Для этого используется совершенно логичная зависимость, которая практически является прямопропорциональной - чем больше используется при полете топлива, тем больше будет масса самой ракеты. Это обуславливается тем, что для перевозки большого количества топлива требуются, соответственно, и большие резервуары, поэтому увеличивается в результате и размер корабля, и даже сам двигатель. Некоторым решением возникающей проблемы является использование твердого топлива, которое требует меньше условий для хранения. Однако в настоящий момент оно обладает наименьшим удельным импульсом из существующих. Формула Циолковского используется также для расчета необходимого количества топлива для развития определенной скорости - обычно это одна из четырех космических.
Несколько выводов из формулы Циолковского
КПД ракеты
Другая форма формулы
Использование при создании ракет
Космические скорости